Matematika Hiburan

Hanya berlaku untuk tahun ini (2009 M)
Pilihlah sebuah angka antara 1 sampai 9,
Jumlahkan angka tersebut dengan 20,
Kalikan hasilnya dengan 100,
Hasilnya ditambah dengan 8 jika belum sampai hari ulang tahun untuk tahun ini, dan ditambah 9 jika sudah melewati hari ulang tahun untuk tahun ini,
Hasilnya lagi kurangkan dengan tahun lahir,
Maka akan diperoleh bilangan ratusan dengan digit ratusan adalah angka yang dipilih dan dua digit berikutnya adalah umur.

Misal :
Anda punya angka 8, lalu tambah 20 menjadi 28, kalikan 100 menjadi 2800, tambahkan 9 menjadi 2809 kurangkan dengan 1992 menjadi 817
Jika belum berulang tahun untuk tahun ini maka 1808-1992 = 816.

Selamat mencoba.

Perhatian Terhadap Kemajuan

Menempuh jalan waktu di beberapa tempat di negara tercinta Indonesia dan berinteraksi dengan berbagai posisi jenis orang di negara tercinta Indonesia menghasilkan kesimpulan mengenai seberapa perhatian orang-orang Indonesia terhadap kemajuan Indonesia :

* Kebanyakan hanya sekedar mengkritik akan keterbelakangan Indonesia terhadap person atau kelompok yang tidak jelas.
* Kebanyakan hanya berangan-angan dan mengharapkan begini-begitu. tapi tidak ada aktualisasinya dalam mewujudkan harapan itu.
* Manakala ada beberapa orang yang mengupayakan inovasi, banyak yang melecehkan, dan kurang menghargai, tanpa adanya dukungan sepenuhnya.
* Kebanyakan masih merasa bahwa kemajuan bangsa bukan tanggung jawabnya, melainkan tanggung jawab kalangan tertentu.

Mari kita benahi kondisi yang tersebut dengan mulai dari diri masing-masing, dan berusaha untuk tidak mementingkan diri sendiri. Negara membutuhkan orang-orang yang militan, orang-orang yang tidak hanya mendasarkan.."Oh ini bukan tidak ada untungnya bagi saya, kok", atau "Kalau saya melakukan ini, nanti orang lain yang diuntungkan..", pemikiran-pemikiran sering merusak kepribadian walaupun sering tidak terasa.

Majulah kita semua.

Pulang Kampung

Berbagai perasaan dan pikiran terbaharui setelah pulang kampung.
Rasanya penat juga untuk pergi lagi, hawa di yogya kalau malam dingin banget, sampe nyetutuk, tidur kalau kalau ndak pake jaket plus selimut, langsung nyekukruk.
Senang bisa, naik lion dari batam ke jakarta langsung di papak sama pak Dwi (rasane mboten kepenak kaleh pak Dwi), diajak muter2 kelapa gading lihat beberapa sekolah di Jakarta. Yang jelas sempat ketemu, jadi nanti mudah untuk datang sendiri dan tidak ngrepoti.
Naik bus ke Yogya, dapatnya jurusan Solo karena yang Yogya sore hari, ndak tahunya bisnya tidak lewat Yogya tapi lewat Semarang-Salatiga-Solo. Muter deh balik ke barat ke Yogya.
Lama tak lihat kampung, ternyata banyak perubahan, banyak pendatang, RS PKU Muhammadiyah baru di Gamping.

Lihat sepupu yang sudah pindah ke wonosari, disini ternyata malah lebih dingin, nggak kuat deh. Makan tongseng kambing muda di wonosari (ditukok-ke) rasane legit.

Enak tenan 2 minggu muter2 di kampung. Walaupun sempat masuk angin.

Residu Kuadratik

Definisi :
Misalkan p bilangan prima, dan x bilangan bulat yang relatif prima terhadap p. Bilangan bulat x dikatakan residu kuadratik dari p jika ada suatu bilangan bulat y sedemikian hingga x=y^2(mod p). Jika x bukan residu kuadratik dari p maka x dikatakan bukan residu kuadratik dari p.

Proposisi I :
Taruhlah p bilangan prima ganjil, serta a, b, dan c bilangan-bilangan bulat dengan a relatif prima terhadap p. Maka ada bilangan bulat x yang memenuhi kongruensi ax^2+bx+c=0(mod p) jika dan hanya jika b^2-4ac=0(mod p) atau b^2-4ac=0(mod p).

Bukti :
Misalkan x bilangan bulat. Maka ax^2+bx+c=0(mod p) jika dan hanya jika 4(a^2)(x^2)+4abx+4ac=0(mod p). (Mengapa ? Diketahui p dan a relatif prima maka 4a dan p juga relatif prima karena p dan 4 juga relatif prima. karena p prima dan tidak membagi habis a maupun 4 maka sekaligus p tidak membagi 4a maka 4a dan p relatif prima.)
Karena 4(a^2)(x^2)+4abx+4ac = {(2ax)^2+4abx+b^2} - b^2 + 4ac
= (2ax+b)^2 - (b^2-4ac), maka berarti :
ax^2+bx+c=0(mod p) jika dan hanya jika (2ax+b)^2 - (b^2-4ac)=0(mod p) jika dan hanya jika (2ax+b)^2 = (b^2-4ac) (mod p).
Sehingga jika ada bilangan bulat yang memenuhi kongruensi ax^2+bx+c=0(mod p) maka
b^2-4ac adalah residu kuadratik dari p atau kalau tidak maka b^2-4ac=0(mod p).

Sebaliknya , andaikan b^2-4ac residu kuadratik dari p atau b^2-4ac=0(mod p). Maka ada bilangan bulat y sedemikian hingga y^2=b^2-4ac (mod p).
2a dengan p juga relatif prima sehingga kita bisa melihat ada bilangan bulat d dan f yang membuat 2ad+pf=1 atau 2ad=1 (mod p). Jika kita ambil x=d(y-b) (mod p) maka
2ax+b (mod p)=2a(d(y-b))+b) (mod p)=(2ady - 2adb +2ab) (mod p)
= 2ady (mod p) = y(mod p) .
Dan dari sini (2ax+b)^2=(b^2-4ac) (mod p). Yang berarti lalu ax^2+bx+c=0(mod p).

Menghitung Kongruensi.

Definisi :
Untuk A,B, dan C bilangan bulat, maka
A=B(mod C) berarti ada suatu bilangan bulat H, sehingga A=HC+B.

Contoh :
(i) 35=15(mod 4) karena 35=5x4 + 15
ini masih bisa disederhanakan menjadi 35=3(mod 4), jadi 35=15(mod 4)=3(mod 4).
(ii) 35 = (-1)(mod 4) karena 35= 9 x 4 + (-1).
(iii) -14=4(mod 6) karena -14= (-3)x 6 + 4.

Sifat :
(I) AB(mod C)={A(mod C)}{B(mod C)}
Bukti :
A(mod C) ==> A(mod C)=KC + A untuk suatu bilangan bulat K, dan
B(mod C)=HC + B untuk suatu bilangan bulat H.
Sehingga :
{A(mod C)}{B(mod C)}=(KC+A)(HC+B)=(KCH)C + (KB+HA)C + AB = [KCH+KB+HA]C + AB
= AB(mod C)
<Terbukti>

Totien Euler pertama

Pola-pola seputar bilangan prima

Tabel-tabel perkalian kelas-kelas kongruensi modulo p.